標準差的概念與計算方法

發表時間: 2014-02-14

 

 

  標準差(Standard Deviation)是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差,代表大部分的數值和其平均值之間差異較大;一個較小的標準差,代表這些數值較接近平均值。
  例如,兩組數的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ,但第二個集合具有較小的標準差。
  標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中,做重復性測量時,測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值,測量值的標準差占有決定性重要角色:如果測量平均值與預測值相差太遠(同時與標準差數值做比較),則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解,因為值都落在一定數值范圍之外,可以合理推論預測值是否正確。

標準差的簡易計算公式

假設有一組數值 x1, ..., xN (皆為實數),其平均值為:
\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i
此組數值的標準差為:
\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}
一個較快求解的方式為:
\sigma = \sqrt{{\sum_{i=1}^N x_i^2}\over{N}\left({\sum_{i=1}^N{x_i}\over{N}}\right)^2\ } = \sqrt{\frac{N\sum_{i=1}^N{{x_i}^2} - \left(\sum_{i=1}^N{x_i}\right)^2}{N^2}}
一隨機變量X 的標準差定義為:
\sigma = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}X)^2)} = \sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}
須注意并非所有隨機變量都具有標準差,因為有些隨機變量不存在期望值。 如果隨機變量 X 為 x1,...,xN 具有相同機率,則可用上述公式計算標準差。從一大組數值當中取出一樣本數值組合 x1,...,xn ,常定義其樣本標準差:
s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}

 

范例:

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這里示范如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為 { 5, 6, 8, 9 } :
第一步,計算平均值
\overline{x}
\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i
n = 4 (因為集合里有 4 個數),分別設為:
x_1 = 5\,\!
x_2 = 6\,\!
x_3 = 8\,\!
x_4 = 9\,\!
\overline{x}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 x_i 用 4 取代 N
\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( x_1 + x_2 + x_3 +x_4 \right )
\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( 5 + 6 + 8 + 9 \right )
\overline{x}= 7此為平均值。
第二步,計算標準差\sigma\,\!
\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}
\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - \overline{x})^2} 用 4 取代 N
\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - 7)^2}用 7 取代 \overline{x}
\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (x_1 - 7)^2 + (x_2 - 7)^2 + (x_3 - 7)^2 + (x_4 - 7)^2 \right ] }
\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (5 - 7)^2 + (6 - 7)^2 + (8 - 7)^2 + (9 - 7)^2 \right ] }
\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( (-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 \right ) }
\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( 4 + 1 + 1 + 4 \right ) }
\sigma = \sqrt{\frac{10}{4}}
\sigma = 1.5811\,\!

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